菱形(特殊的平行四边形之一)

菱形（英文名：Rhombus）是特殊的平行四边形之一，是指在同一平面内，四条边都相等的平行四边形，菱形的对角线互相垂直并平分一组对角。

菱形具有平行四边形所有的性质，同时，它又具有一般平行四边形所没有的特殊性质。菱形面积公式可用表示，也可用（a、b为对角线长）求解。菱形的周长=边长×4。

菱形一词源自希腊语“rhombos”，意为“陀螺”或“用绳子旋转的木块”。菱形在日常生活中随处可见，其应用范围从交通标志牌到珠宝，再到室内外设计。菱形纹在中国的应用可谓源远流长，凡具有菱形结构特点的一类装饰图形即为“菱形纹”。菱形纹既包括由完全标准的菱形所组成的纹样，也包括在菱形的基础上经过发展和演变形成的类似菱形的一类图形。

命名

菱形（rhombus）一词源自希腊语“rhombos”，意为“陀螺”或“用绳子旋转的木块”。菱形（有时也称为rhombi）在日常生活中随处可见，其应用范围从交通标志牌到珠宝，再到室内外设计。

定义

在欧几里得几何（Euclidean geometry）中，平行四边形是两组对边分别平行的四边形，同时它是一个中心对称图形。所有的平行四边形都是中心对称图形，对称中心为平行四边形对角线交点。

菱形（(rhombus）是特殊的平行四边形之一，是指在同一平面内，四条边都相等的平行四边形，菱形的对角线互相垂直并平分一组对角。

历史

平行四边形属于几何学，而几何学的产生是由于人类生产和生活的需要。在原始社会里，人们已经积累了许多物体形状和大小，以及它们的分布位置关系的知识。经过劳动人民长期的生产和生活实践，积累了许多几何知识，并不断地丰富起来，形成了人类知识的一个分支。中国对于几何学也很早就有研究，在中国黑陶文化时期（约公元前一千年），陶器上的花纹就有菱形、正方形和圆内接正方形等与平行四边形相关的图样。2000年前，在中国古代数学著作《九章算术》中方匡章提出了长方形的面积公式。

古希腊数学家欧几里得是历史上第一个系统提出平行四边形的相关理论的人，他的作品《几何原本》成书于公元前300年左右，作品中详细地阐述了平行四边形的基本性质和相关理论，其中的部分理论直到如今仍得到应用。

性质

1、菱形有着平行四边形的一切性质。

2、菱形四条边的长度都相等。

3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4、菱形既是轴对称图形也是中心对称图形。菱形有两条对称轴，分别是其对角线所在的直线。

判定

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、四条边长度都相等的四边形是菱形。

4、一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

计算公式

面积

菱形是一组邻边相等的平行四边形，面积公式可用；也可用（(a、b为对角线长）求解。

周长

菱形的周长，即其边缘的总长度，是通过将菱形一条边的长度乘以4来计算的，菱形的周长=4×边长。

数学特征

菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。根据平行四边形对边相等这一性质，推出菱形的四条边都相等。反过来，如果一个四边形四边都相等，很容易地先证明它是平行四边形，再根据定义知道它是菱形。因此，四条边都相等的四边形是菱形。

菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质，同时，它又具有一般平行四边形所没有的特殊性质。

设有菱形ABCD，它的对角线AC、BD相交于O，则在△ABC和△ADC中AB=AD，BC=CD，AC=AC，所以这两个三角形全等，从而∠1=∠2，即AO是等腰三角形ABD的顶角平分线，所以AO垂直于BD。由此得到定理：“菱形有下面的性质：(1）对角线平分对角；(2）两条对角线互相垂直。”

反过来，(1）“对角线平分对角的平行四边形是菱形”；(2）“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这两个逆定理也是成立的。先看（1），若□ABCD的对角线AC平分对角，则由平行四边形对角相等，容易证明∠BAC=∠BCA，即△ABC为等腰三角形，AB=BC，所以ABCD是菱形。再看（2），若□ABCD的对角线互相垂直，即△ABD的底边BD上的高与中线重合，所以△ABD为等腰三角形，从而ABCD为菱形。

(1）证明四边形的四边都相等。

(2）先证明四边形是平行四边形，再证明以下条件之一：i）两条邻边相等；或ii）对角线平分对角；或iii）对角线互相垂直（或者从四边形的对角线互相垂直且平分来证）。

计算运用

实例解读一

【如图1】AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F，试判断四边形AEDF的形状并说明理由。

【解】四边形AEDF是菱形。理由：因为DE//AC，DF//AB，所以四边形AEDF是平行四边形，且∠DAE=∠ADF，又因为AD是△ABC的角平分线，即∠DAE=∠DAF，所以∠ADF=∠DAF，从而AF=DF，因此四边形AEDF是菱形。

【知识点】识别一个四边形是菱形，先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，这是最常用的一种基本方法。本题中判断这两种图形分别采用了定义法，每一种特殊图形的定义都是识别该图形的最原始方法，而其他判定方法往往都是由此而出。

实例解读二

【如图2】所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB边的垂直平分线交对角线AC于F，E为垂足，连结DF，求∠CDF。

【解】因为四边形ABCD是菱形，所以∠BAC=∠DAC=½∠BAD=½×80°=40°；且AB∥DC，所以∠ADC=180°−80°=100°.因为FE垂直平分AB，所以AF=BF，从而∠FBA=∠FAB=40°；又AB=AD，故将△ABF沿AC翻折后可与△ADF重合，于是∠FDA=∠FBA=40°，因此∠CDF=100°−40°=60°。

【知识点】菱形的性质为我们解决菱形问题提供了重要条件。本题求解时运用了菱形的四边相等、对边平行及每条对角线平分一组对角等性质，另外，在说明∠FDA=∠FBA时，也可由菱形的轴对称性直接推出。

实例解读三

【如图3】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，CE//BD，连结OE，试说明OE与CD互相垂直平分。

【分析】欲说明OE与CD互相垂直平分，只要说明四边形OCED是菱形即可。由矩形性质不难得到OC=OD，故应先推出四边形OCED是平行四边形。

【解】因为DE//AC，CE//BD，所以四边形OCED是平行四边边形。又因为四边形ABCD为矩形，所以AC=BD，且，，则，从而□OCED是菱形，因此，OE与CD互相垂直平分。

【知识点】要说明一个四边形的两条对角线互相垂直平分，应考虑先说明这个四边形是菱形，本题综合运用了平行四边形、菱形的定义以及矩形与菱形的性质，最终推出了结论。

文化运用

菱形纹在中国的应用可谓源远流长。凡具有菱形结构特点的一类装饰图形即为“菱形纹”。菱形纹既包括由完全标准的菱形所组成的纹样，也包括在菱形的基础上经过发展和演变形成的类似菱形的一类图形。菱形纹由斜直线相互交叉或单个菱形图案连续排列的方式构成。菱形纹样因菱形对称的性质，同样具有对称均衡的形式美。菱形纹样可以沿着两条对角线和两条中点线作对称变换，由这种单个菱纹组成的菱形纹，也有对称的特点。在众多的装饰纹样中，表现出规则的、整齐划一的稳定结构，产生安静、和谐、庄重感，体现了自然和生命形态的静止状态。

菱形纹以二方连续、四方连续的形式无限重复展开时，就会呈现出一种富有律动感的节奏。菱形纹以几何菱形为造型基础，叠加不同的几何纹、植物纹，为了突出主要特征而删除不必要的琐碎细节。其构成方式决定了它简洁的造型特点，别的纹样很少具备这种对比效果。作为一种典型的几何抽象纹样，菱形纹在后期的装饰纹样中，更多的是结合具象纹样出现，如植物纹、动物纹、人物纹。

命名

定义

历史

性质

判定